Чисельне розв’язання рівняння субдифузії змінного  порядку в багатовимірному просторі

Kostiantyn Tokar

doi:10.15407/10.15407/fmmit2023.37.133

Kostiantyn Tokar аспірант, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, вул. Володимирська, 64, 01601, Київ

DOI: https://doi.org/10.15407/10.15407/fmmit2023.37.133

Ключові слова: рівняння дробових порядків; субдифузія; скінченно- різницеві схеми; L1 метод

Анотація

Розглядається рівняння субдифузії в обмеженій області багатовимірного евклідового простору. Рівняння містить дробову похідну Рімана-Ліувілля за часом, порядок якої залежить від просторової змінної, та яка знаходиться під оператором Лапласа, що відповідає рівнянню, виведеного з процесу випадкових блукань з неперервним часом. Запропоновано зведення цього рівняння до рівняння субдифузії з однорідною початковою умовою, що містить дробову похідну Капуто. Оскільки в кожен фіксований момент часу рівняння субдифузії являє собою добре досліджене диференціальне рівняння еліптичного типу, будується скінченно-різницева апроксимація за часом перетвореного рівняння субдифузії. Наводиться твердження про стійкість та збіжність напівдискретизованої (дискретної за часом, неперервної за простором) схеми в квадратичній нормі для достатньо гладкого розв’язку.

Посилання

Sokolov, I. M. (2012). Models of anomalous diffusion in crowded environments. Soft Matter, 8(35), 9043-9052.

Metzler, R., Jeon, J. H., & Cherstvy, A. G. (2016). Non-Brownian diffusion in lipid membranes: Experiments and simulations. Biochimica et Biophysica Acta (BBA)-Biomembranes, 1858(10), 2451-2467.

Metzler, R., & Klafter, J. (2004). The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics. Journal of Physics A: Mathematical and General, 37(31), R161.

Metzler, R., & Klafter, J. (2000). The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. Physics reports, 339(1), 1-77.

Chechkin, A. V., Gorenflo, R., & Sokolov, I. M. (2005). Fractional diffusion in inhomogeneous media. Journal of Physics A: Mathematical and General, 38(42), L679.

Tarasov, V. E. (Ed.). (2019). Handbook of fractional calculus with applications (Vol. 5). Berlin: de Gruyter.

Diethelm, K. (1997). An algorithm for the numerical solution of differential equations of fractional order. Electronic transactions on numerical analysis, 5(1), 1-6.

Zhang, H., Liu, F., Phanikumar, M. S., & Meerschaert, M. M. (2013). A novel numerical method for the time variable fractional order mobile–immobile advection–dispersion model. Computers & Mathematics with Applications, 66(5), 693-701.

Chen, C. M., Liu, F., Anh, V., & Turner, I. (2010). Numerical schemes with high spatial accuracy for a variable-order anomalous subdiffusion equation. SIAM Journal on Scientific Computing, 32(4), 1740-1760.

Zeng, F., Zhang, Z., & Karniadakis, G. E. (2015). A generalized spectral collocation method with tunable accuracy for variable-order fractional differential equations. SIAM Journal on Scientific Computing, 37(6), A2710-A2732.

Hulianytskyi, A. (2020). Weak solvability of the variable-order subdiffusion equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, 23(3), 920-934.